Zusatz: Mathe!

[admirana111]

Ahoi... bekomme in Mathe einen Zusatz

und er hat gesagt ich soll mal die 2 Beispiele lösen & und habe keinen Schimmer wie es geht.. benutz wird derrive

1) Ein oben offener Behlter besteht aus einem Zylinder mit einem angesetzen Kegel, dessen Öffnungswinkel 120° beträgt. Der Behälter soll 1000 Liter fassen und eine möglichst kleine Oberfläche haben. (O = 402,68 dm² [Was auch immer das sein soll])

2) Ein Kesel hat die Form eines Zylinders mit zwei angesetzten Halbkugeln.

a) Berechne die kleinste Oberfläche bei einem Volumen von 1000 Litern.

b) Berechne das größte Volumen bei einer Oberfläche von 30 m² (O= 483,6dm²; V=15,45 dm²)

kann mir wer weiterhelfen? ich habe absolut keine ahnung

bitte

[Grün-Weißer]

In Mathe bin ich durch, brauch dafür bei der BDA Hilfe

Sorry, kann dir nicht helfen, haben sowas nicht gemacht! Trotzdem viel Glück und gutes Gelingen.

[revo]

Hast du ein Mathebuch zuhause? Das sind sehr typische Beispiele, solltest also mit Hilfe eines Buches lösen können. Ansonsten lad einen Schulkollegen von dir, oder eine -kollegin, auf einen Kaffee ein und lass dir mal eine Stunde Nachhilfe geben.

O steht für Oberfläche übrigens. Findest notfalls über Google, was das ist.

[unnerum]

Sind beides Extremwertaufgaben, obwohl ich jetzt auch nicht weiß, wie das nochmal ging. Müsste es mir nochmal anschauen, was aber sehr unwahrscheinlich ist...

[Muuu]

Hmmm, sind wohl Extremwertaufgaben was ... ?

Hast wenigstens nen Lösungsansatz ?

[admirana111]

Hmmm, sind wohl Extremwertaufgaben was ... ?

Hast wenigstens nen Lösungsansatz ?

Jap sind sie

nein habe keinen lösungsansatz..

ich habe 0 schimmer wie ich anfangen soll..

die einzigen zahlen die ich beim 1) bsp habe sind 120°, 1000 L und das O! mehr nicht.. was soll ich damit anfangen? wirklich keine ahnung..

bzw wie soll ich überhaupt anfangen ^^

[rahzel]

Hauptbedingung und Nebenbedingung aufstellen -> Variable ausdrücken und einsetzen...wie man auf diese kommt, ist allerdings eine andere Sache!

bearbeitet 22. Mai 2007 von rahzel

[cmburns]

Hauptbedingung und Nebenbedingung aufstellen -> Variable ausdrücken und einsetzen...wie man auf diese kommt, ist allerdings eine andere Sache!

Yep!

Und mal in Google "Extremwertaufgaben" eingeben, da sind 1000 Beispiele mit Lösungswegen zu finden...

[Mecki]

Ogott, wenn ich die Beispiele seh, erinnert mich das wieder an meinen Mathe-Zusatz...den ich auf eine bravuröse 4 gemeistert habe

[acm]

Sind beides Extremwertaufgaben, obwohl ich jetzt auch nicht weiß, wie das nochmal ging. Müsste es mir nochmal anschauen, was aber sehr unwahrscheinlich ist...

wann gehts auf summersplash?

[Csabinho]

Ogott, wenn ich die Beispiele seh, erinnert mich das wieder an meinen Mathe-Zusatz...den ich auf eine bravuröse 4 gemeistert habe

bruder im geiste!

[Pad]

Ahoi... bekomme in Mathe einen Zusatz

und er hat gesagt ich soll mal die 2 Beispiele lösen & und habe keinen Schimmer wie es geht.. benutz wird derrive

2) Ein Kesel hat die Form eines Zylinders mit zwei angesetzten Halbkugeln.

a) Berechne die kleinste Oberfläche bei einem Volumen von 1000 Litern.

b) Berechne das größte Volumen bei einer Oberfläche von 30 m² (O= 483,6dm²; V=15,45 dm²)

kann mir wer weiterhelfen? ich habe absolut keine ahnung

bitte

Hallo! Also, zum ersten Beispiel: weißt du viell, wo der Behälter offen ist? Auf der Zylinderbodenseite?

2)a) komm ich auf das gleiche Ergebnis

2)b) kann es sein, dass das angegebene Ergebnis nicht das Volumen angibt, sondern den Kesselradius? Meiner Meinung nach müsste das Volumen größer sein. Der Kesselradius kommt bei mir genauso raus.

ad 2)a)

Skizze kann ich hier leider keine reinstellen, aber im Prinzip ist dieser Kessel im Querschnitt betrachtet ein Rechteck mit oben und unten jeweils einem Halbkreis (mit Radius r) aufgesetzt.

Ich habe, wie gesagt, den Radius der Halbkugeln mit r bezeichnet, das ist auch der Radius des Zylinders. h ist bei mir die Höhe des Zylinders.

Zunächst einmal setzt sich das Volumen des Kessels (1000 Liter = 1000 dm^3) aus dem Volumen des Zylinders und dem der beiden Halbkugeln mit selben Radius (das heißt, ich fasse es als eine Kugel zusammen) zusammen.

dh, die Formel für das Volumen lautet:

V = r²*Pi*h+ 4/3*r³*Pi

Die Oberfläche des Kessels ist die Mantelfläche des Zylinders plus der Oberfläche der Kugel, also

O= 2*r*Pi*h+4*r²*Pi

Sodala, die Hauptbedingung ist, dass das Volumen 1000 dm³ beträgt. Das heißt, aus dieser Formel oben drückst du dir das h aus und erhältst:

h= 1000/(r²*Pi)-4/3*r

Die Nebenbedingung lautet, dass O klein sein soll. Das heißt, du setzt obiges für h in die Formel der Oberfläche ein:

O=4*r²*Pi + 2*r*Pi*(1000/(r²*Pi)-4/3 *r)

Nach Zusammenfasssen und Kürzen bekommst du dann:

O= 4/3*r²*Pi + 2000/r

Das differenzierst du und hast letzt endlich:

O' = 8/3*Pi*r - 2000/ r²

Das setzt du gleich Null und bekommst so für r:

r= 6,20 dm

Wenn du das in die Formel für h einsetzt, wirst du merken, dass h gleich Null ist. Das heißt, die O ist bei dem Volumen am kleinsten, wenn nur die Kugel übrig bleibt und der Zylinder "verschwindet" (Spezialfall).

Deshalb "Verschwindet in der Formel für die Oberfläche auch der Term, der h enthält und du hast nur noch:

O= 4*r²*Pi

Wenn du da dann r einsetzt, bekommst du O=483,6 dm²

das ist, glaub ich, richtig. Wenn ich mich irgendwo vertippt habe oder du noch Fragen hast, dann melde dich ruhig!

Viel Glück noch beim Weiterrechnen und liebe Grüße!!!

[Pad]

Hallo, ich bins nochmal. Hab jetzt das erste Beispiel auch durchgerechnet.

Also, das Gefäß ist am Zylinderboden offen.

Skizze: Du hast ein Rechteck (Zylinderquerschnitt) mit den Seitenlängen h (Höhe des Zylinders) und 2r (zweimal Radius des Zylinders). Unten dran hängt ein Dreieck (Kegelquerschnitt). Die Berührseite ist natürlich auch 2r lang. Die Höhe des Dreiecks hab ich x genannt.

Los geht's:

Der obere Winkel des Dreiecks beträgt bekanntlich 120 Grad. Das heißt, der halbe Winkel beträgt 60 Grad. Das bringt dir wiederrum, wenn du das halbe Dreieck betrachtest (es ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 90 Grad, 60 Grad und 30 Grad), aufgrund des Sinussatzes, dass du eine Beziehung zwischen x und r herstellen kannst, die da lautet:

x = (sin 30 / sin 60)*r

der Einfachheit halber schreib ich unten statt der Konstanten sin 30 /sin 60 immer "P".

Gut, der Behälter ist oben offen, das heißt, die Oberfläche besteht aus dem Zylindermantel und dem Kegelmantel. Aus den jeweiligen Formeln erhältst du als Hauptbedingung also:

O = 2*r*Pi*h + r*Pi*Wurzel aus (r²+x²)

wenn du für x = "P"*r einsetzt, erhältst du nach Zusammenfassen und Kürzen:

O = Wurzel aus (1+ "P"²) * Pi*r²+2*h*Pi*r

Diese Oberfläche soll möglichst klein sein.

Als Nebenbedingung weißt du V= 1000 Liter, also 1000 dm³

V ist das Zylindervolumen plus dem Kegelvolumen, also

V = 1000= r²*Pi*h + 1/3 *r²*Pi*x

Setze für x wieder ein und fasse zusammen, so bekommst du schließlich:

V = r²*Pi*h + 1/3* "P"*Pi*r³

Daraus drücke dir h aus:

h= 1000/ (r²*Pi) - 1/3* "P"*r

Wenn du das in die Hauptbedingung einsetzt, hast du zunächst:

O = Wurzel aus (1+"P"²)*Pi*r² + 2*Pi*r*( 1000/(r²*Pi)-1/3*"P"*r)

Da kann man aber herrlich kürzen und bekommt:

O = (Wurzel aus(1+"P"²)*Pi- 2/3* "P"*Pi)*r² + 2000/ r

Das differenzierst du und hast:

O' = 2* (Wurzel aus(1+"P"²)*Pi - 2/3*"P"*Pi)*r - 2000/ (r²)

Das setzt du gleich Null und bekommst nach Umformen :

r³ = 1000/ (Wurzel aus ( 1*"P"²)*Pi - 2/3*"P"*Pi) = 413,5

also für r = 7, 45 dm

Setzte das oben in die Formel für h ein und du erhältst:

h= 4,3 dm

Wenn du dir nun O ausrechnest, bekommst du

O = 402,68 dm²

So, wie immer entschuldige ich mich für Tippfehler. Du kannst mich jederzeit kontaktieren, wenn du etwas nicht verstehst (ich hab mich bemüht ein wenig Ordnung in mein Chaos zu bringen *g* Glückt aber nicht immer ).

Hoffe, ich konnte dir helfen!

Liebe Grüße!

[OoK_PS]

dank dieses threads hab ich heute einen ordentlichen alptraum gehabt... extremwertaufgaben hab ich nie verstanden, die einizige schularbeit wo sie stoff waren hab ich "ausgelassen" und zur matura wurden sie uns dankenwerter weise erspart...

[Auswärtsspiel]

bruder im geiste!

Do schau her es gibt nu mehr!